（一）
　　听说过德国小男孩高斯解题的故事吗？这个小男孩后来成为伟大的“数学王子”，他就是卡尔?弗利德里赫?高斯。

　　高斯在小学时，有次老师布置了一道题：要大家把1到20的自然数相加起来。学生们在石板上纷纷开始求和，老师也想抽空去改作业，可是小高斯却声称他已完成了。这使老师感到愕然，他甚至不屑去看一眼高斯手上的石板，甚至产生想斥责这个孩子太狂妄了。

　　后来大家都已做好了，众多石板都交到讲台上。高斯的石板被压在最底下，直到这时老师才把它抽出来瞧了一下。

　　使他大吃一惊的是：石板上竟然端端整整地写了与其他学生相同的答案??210！而且没有列出任何算式。

　　高斯是怎么得到这个答案的？原来他没有就事论事地去计算，而是立即抓住了最前的1与最后的20，接着再考虑2与19的和，一下子就发现了这20个数的内在联系：

　　1+20=2+19=3+18=…=9+11=10+11=21。

　　由于这样的数共有10组，所以总和就等于21×10=210。

　　当高斯说出自己的解答过程后，老师表扬说：“真棒，好样的！”所以后来大家都能够解出求1+2+3+…+100之和的题了。

　　那么，在这所小学里后来还发生过什么吗？据说后来老师又给学生布置了一道家庭作业：

　　在1±2±3±…±99±100里确定该用加号还是减号，以便使最后结果能等于0。

　　下节课是体育，同学们在操场上纷纷向小高斯打听，怎么才能完成这道难题。

　　“我现在还说不清解答方法呢。”小高斯老实承认。

　　“那好吧，”有的同学说，“把它先搁到一边去，高斯，明天你跟我们去登山吗？”

　　小高斯没有马上点头。这天在回家的路上他静静地走着，始终在思考这道题。爬山当然很有趣，但此刻高斯已沉浸在题目中，其他一切都已置之度外，能答出任一道难题都好比是去征服新的高度。

　　如果把开始的符号定为1+2-3呢？这就能得到一个0，但接下去就迷糊了。高斯不再注意到身旁的车辆，也不再听见教堂的钟声。在他脑海中只是加号、减号、减号、加号……符号从一处跳往另一处，就像路边草丛里的蚂蚱那样。

　　等一等！如果采用1-2-3+4如何？这不也能等于0吗？好，接下去高斯就把这100个数编为四个一组：

　　（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+（9-10-11+12）+…

　　每个括号都含有四个数：或者叫做k、k+1、k+2、k+3。再把每次的符号都定为+--+，他不禁大喜过望，找到解题的金钥匙啦：由于k-（k+1）-（k+2）+（k+3）=0，于是原题就将成为：

　　（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+（9-10-11+12）+…+（97-98-99+100）=0×25=0！

　　而且只要加数项是4的倍数也都不成问题，甚至即使1±2±3±…±n有4k+3项，也可以这样来配上符号：（++-）（+--+）（+--+）…（+--+），从而使算式的总和依然等于0。

　　这一天高斯已经躺上了床，他还在回想已经解决的这道题以及解题过程中的喜悦。他越来越爱数学，爱这种喜悦。他无法入睡，居然还在考虑+12±22±32±…±n2应该怎样决定符号，使总和也能等于0。

　　高斯没有注意到教堂的钟声已经响过多少次，他总是在想这道减式：k2-（k+1）2=-2k-1=-（2k+1），这是两个连续数的平方差。那么再利用（+--+）的符号序列，能使四个形如2k+1的连续数的和等于0吗？有啦！原来（2k+1）-［2（k+1）+1］-［2（k+2）+1］+［2（k+3）+1］也能等于=0！

　　现在好了，应当在12±22±32±…±n2中这样来选取符号：
［（12-22）-（32-42）-（52-62）+（72-82）］+［（92-102）-（112-122）-（132-142）+（152-162）］+…

　　这里每个中括号都含有8个连续数的平方，总和都能等于0，所以唯一的要求就是n=8k。

　　高斯越来越激动，（+--+）还能有其他用途吗？他又开始思索下面这个美丽的算式：

　　+1?2±2?3±3?4±4?5±…±96?97。

　　该怎么决定加减号才能使总和等于0呢？

　　这里每两个连续项的差等于k（k+1）-（k+1）（k+2）=-2（k+1）。

　　显然对于这样的连续数，如果仍旧取符号序列为（+--+），就有可能使总和还等于0，因为（2k+2）-［2（k+1）+2］-［2（k+2）+2］+［2（k+3）+2］=0。由此可知，算式+1?2±2?3±3?4±4?5±…±96?97在求和时，只要选取适当的加减符号序列，也还能获得0的结果。而且加项的数量有96个，正好也是8的倍数。想到这里，高斯迷迷糊糊地睡着了。

　　我们不知道究竟这位未来的数学王子后来解决过多少这类求和的题目，因为在200多年前他解答的此类题实在太多了，今天已无法一一叙述，而且我们的随想曲也将结束，再见吧！

（二）
1796年的一天，德国歌廷根大学，一个19岁的很有数学天赋的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。青年做着做着，感到越来越吃力。开始，他还想，也许导师见我每天的题目都做的很顺利，这次特意给我增加难度吧。但是，时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。青年绞尽脑汁，也想不出现有的数学知识对解开这道题有什么帮助。
困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
终于，当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题！
见到导师时，青年感到有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
导师接过青年的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？”青年有些疑惑地看着激动不已的导师，回答道：“当然，但是，我很笨，竟然花了整整一个通宵才做出来。”导师请青年坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，叫青年当着他的面做一个正17边形。
青年很快地做出了一个正17边形。导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！” 多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。”
这个青年就是数学王子高斯。
有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好！