在代数拓扑中，毛球定理证明了偶数维单位球上的连续而又处处不为零的切向量场是不存在的。具体来说，如果f是定义在一个单位球上的连续函数，并且对球上的每一点P，其函数值是一个与球面在该点相切的向量，那幺总存在球上的一点，使得f在该点的值为零。直观上（三维空间）可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。这个定理最著名的陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被布劳威尔证明。[1]
实际上，根据庞加莱-霍普夫定理，三维空间中的向量场的零点处的指数和为2，即二维球面的欧拉特征数，因此零点必然存在。对于二维环面，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的正则的偶数维紧流形，若其欧拉特征数不为0，则其上的连续的切向量场必然存在零点。
定理的陈述
我们考虑常规的欧几里德空间3cbc66f02ec6692a21cf5d15d773e1d.png" width=40>里的一个单位球：
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其上的拓扑为欧几里德范数诱导的拓扑。这是一个n维的连通的紧子流形。直觉上，对一个单位向量v，它在单位球上的对应点可以用过v并且与其正交的一个3cbc66f02ec6692a21cf5d15d773e1d.png" width=40>中的仿射超平面来逼近。Sn上的一个连续的向量场可以定义为连续映射：，使得X(v)与v正交。
定理：如果n为大于等于2的偶数，那幺所有Sn上的连续的向量场X必然有至少一个零点。
对于奇数维的情形，存在连续（甚至解析）向量场，在处处皆不为零。
参考
^ 证明原文，德文
（英文） J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint Princeton Univ. 1997 Template:ISBN
（法文） N. E. Chinn W. G. Steenrod Topologie élémentaire Dunod 1991 Template:ISBN
（英文） M. Eisenberg, R. Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem The American Mathematical Monthly Vol. 86, No. 7 (Aug. — Sep., 1979), pp. 571—574
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